François est le fils de François Marie Choquer et de Jeanne Riouallon, son épouse. François est le cadet d'une fratrie de deux enfants. Son frère Guillaume est né à Guiclan en 1911. Son père, qui a la profession de meunier, est mobilisé en août 1914 pour la durée de la 1^re guerre mondiale contre l'Allemagne à la 11^e section des vivres et ouvriers, puis fait toute la guerre dans l'infanterie. Il est fait prisonnier en juin 1918, et envoyé en captivité en Allemagne. A son retour de captivité il est embauché aux services des subsistances du port de Brest comme boulanger.

La famille Choquer est domiciliée au n° 60 de la rue de la mairie (Rue Victor Eusen depuis 1945) à Saint Pierre Quilbignon (commune rattachée à la ville de Brest en 1945). François passe son enfance au bourg de Saint Pierre. Il fait sa scolarité à l'école des frères où il obtient son certificat d'études primaires. Puis il est admis au concours d'entrée à l'école des apprentis de l'arsenal de Brest où il apprend le métier de chaudronnier. Jeune ouvrier, il intègre la Direction des constructions navales du port de Brest. Il passe ses loisirs au patronage de la Légion Saint Pierre, où il joue en équipe première de football. Son père, qui avait contracté une bronchite chronique durant sa captivité en Allemagne décède le 1^er janvier 1942. Sa mère reste domiciliée à Saint Pierre Quilbignon jusque son décès en novembre 1958. Son frère Guillaume, qui a la profession de menuisier, est allé travailler en région parisienne où il se marie en 1964 avec Jacqueline Léone Guilbert ; il décède en 1983 à Montreuil (Seine-Saint-Denis).

Le 18 juin 1940, veille de l'arrivée à Brest des Forces armées allemandes, des jeunes quilbignonnais sont rassemblés sur la place de la mairie, dans l'imminence d'un départ vers l'Angleterre, la ville de Bordeaux, ou l'Afrique du nord. François, qui n'a pas encore 20 ans, encouragé par ses parents, trouve un embarquement au port de commerce vers l'Angleterre. A son arrivée à Londres, il est hébergé, avec ses amis brestois, dans un camp en attendant une décision quant à sa situation. Le 1^er juillet 1940, une proposition lui est faite de continuer la lutte armée dans une unité combattante, soit dans l'infanterie, soit dans la Marine. François s'engage le 1^er juillet 1940 dans les "Forces navales françaises libres" (FNFL) sous le matricule n° 11021 FN40. Il intègre le "1^er Bataillon de fusiliers marins" (1^er BFM) en cours de création, où il suit une formation militaire et maritime, puis il obtient le brevet de fusilier marin au centre d'entraînement à Aldershot (Grande Bretagne).

Le 31 août 1940, à l'issue de son entraînement à Aldershot, le "1^er BFM", sous le commandement de capitaine de corvette Détroyat, embarque à bord du cargo "Westernland" à destination de Freetown en Sierra Leone, puis Dakar pour tenter d'obtenir le ralliement du Sénégal à la France libre. Après l'échec de Dakar, le "1^er BFM" participe en octobre aux opérations au Cameroun et au Congo, puis en novembre au Gabon. Le 19 février 1941, le "1^er BFM" revient à Freetown d'où il rejoint Durban en Afrique du Sud ; le 31 mars, il quitte cette ville pour reprendre sa progression vers le nord par l'Océan Indien et la Mer Rouge. En mai, il se trouve à Suez en Egypte, et en juin, il est envoyé en Syrie. Le 21 juin, le "1^er BFM" progresse vers Damas en Syrie.

 Transformé en unité de DCA, le "1^er BFM" est rattaché à la "1^re Brigade française libre" Celle-ci participe aux opérations en Lybie et en Tunisie. A la fin de mai 1942, la "1^re Brigade française libre" occupe le sud du dispositif de la 8^e Armée britannique en Libye face aux Forces germano-italiennes de l’Axe. Point d’appui à l’extrême gauche du dispositif, cette position est d’une importance considérable, car elle est en mesure d’empêcher toute manœuvre d’encerclement par le sud des Forces alliées, en retraite désordonnée, après la défaite et la chute de Tobrouk qui ouvre la voie du Caire aux chars allemands. François est pourvoyeur du canon Bofor de 40 mm du quartier-maître Le Borgne. Le 27 mai 1942, la position de Bir Hakeim en Lybie, attaquée par la Division blindée italienne "Ariete", soutient un combat acharné. L’ennemi, repoussé, laisse quarante chars sur le terrain. Du 1^er au 10 juin, la position, harcelée méthodiquement, est complètement encerclée par des Forces allemandes et italiennes, en supériorité numérique écrasante. Malgré les tirs d’artillerie et les bombardements aériens les plus violents, la brigade repousse tous les assauts, ne cède pas un pouce de terrain, inflige à l’ennemi des pertes élevées. La garnison reçoit du commandant de la 8^e armée britannique l’ordre de se replier. Au cours de la nuit du 10 au 11 juin, elle se fraie un passage de vive force à travers les lignes ennemies et les champs de mines, ramenant ses blessés et le matériel encore utilisable. Par sa résistance prolongée au-delà de tout espoir et dont le retentissement mondial fut immense, la "1^re Brigade française libre" permit à la 8^e Armée britannique de se dégager et de trouver le temps nécessaire au redressement de la situation, à El Alamein.

François, et six servants du canon Bofor du quartier-maître Le Borgne sont tués le 1er juin 1942 par une bombe lancée d'un avion allemand.

Il est inhumé à Bir Hakeim, tombe n° 149.

François est cité à l'ordre du corps d'armée en ces termes :

"Servant d'une pièce de D.C.A. attaquée par une grosse formation de Stukas le 1er juin 1942 à Bir-Hakeim (Lybie) a manifesté de belles qualités de courage et de sang-froid Mort pour la France le 1er juin 1942 à Bir-Hakeim."

Le nom de François Choquer est inscrit sur le mémorial érigé à Bir Hakeim et sur la plaque commémorative apposée au patronage de la Légion Saint Pierre.

La session de mars à juillet 1992 du "Cours de spécialité fusilier de la Marine nationale" porte le nom "CHOQUER".

La ville de Brest a honoré la mémoire de François en nommant une rue François Choquer dans le quartier de Beg Avel.